Il modello di Poincarè ed Escher

Un artista olandese, che basa alcuni dei sui quadri sulla geometra iperbolica e in particolare sul disco di Poincarè, è Maurits Cornelis Escher (Leeuwarden, 1898 – Laren, 1972). Escher cercò varie volte di rappresentare l’infinito ma rimase spesso insoddisfatto. Trovò risposta, a questo problema, quando egli incontrò il matematico Coxeter, che gli fece conoscere il cosiddetto modello di
 Poincaré del piano iperbolico, basato sulla negazione del V postulato di Euclide. In esso l’artista trovò lo strumento per realizzare ciò che da tempo desiderava.

Fece diversi tentativi in questo senso, il primo e più
 rudimentale è Cerchio limite I, a cui seguirono, le xilografie Cerchio limite II, III e IV. In esse l’artista vide realizzata la rappresentazione dell’infinito, che commentò così: “(…) il limite
dell’infinitamente numeroso e dell’infinitamente piccolo viene raggiunto sul bordo circolare”.
Osserviamo come le incisioni Cerchio limite si possano considerare tassellazioni nel piano di Poincaré, nel senso che le repliche di una stessa figura sono isometriche in quanto figure del piano non euclideo. In Limite del cerchio IV non vi sono contorni: i profili degli angeli e dei diavoli si definiscono a vicenda. In questa tassellatura iperbolica, ai nostri occhi euclidei le figure finiscono per diventare tanto più distorte quanto più diminuiscono di dimensioni. Tuttavia, se misurati nella geometria intrinseca del mondo di questa xilografia, tutti gli angeli e tutti i diavoli hanno esattamente le stesse dimensioni e la stessa forma. Si ha una ripetizione all'infinito di un numero infinito di copie, che non escono mai dai confini del cerchio.