Un nuovo “vocabolario iperbolico”

Termini primitivi	Interpretazione
Punto	Punto interno ad un cerchio fissato C nel piano euclideo
Linea	Parte interna a C di una linea euclidea
Linea retta	Parte interna a C di un diametro di C o di un cerchio ortogonale a C
Piano	Interno del cerchio C

In pratica gli abitanti accetterebbero come veri i postulati della geometria neutrale, cioè tutti i postulati di Euclide eccetto il quinto cioè quello delle parallele. Essi esprimerebbero il V postulato in senso iperbolico e quindi il loro mondo può essere considerato come iperbolico.

Tramite questa interpretazione i postulati della geometria iperbolica diventano teoremi della geometria euclidea. Possiamo concludere che la geometria iperbolica è coerente solo se lo è quella euclidea. Questo porta ad affermare che il V postulato non è deducibile dalla geometria neutrale; infatti, se il V postulato fosse conseguenza logica degli altri postulati, ovvero della geometria neutrale, ogni insieme di enti che soddisfa tali proposizioni dovrebbe soddisfare anche il V postulato. Ma abbiamo appena visto che gli enti del modello di Poincarè soddisfano tutti gli altri assiomi e non il V postulato.