Che cosa sono le geometrie non euclidee?

Nei primi dell’Ottocento, in un clima di rigoroso rinnovamento, viene a soluzione l’annoso problema dell’indipendenza del quinto postulato euclideo con la costruzione delle geometrie non euclidee. In questo periodo viene scoperta (ufficialmente con Lobačevskij e Bolyai) la geometria non euclidea oggi detta iperbolica, ossia il sistema costruito su un’ipotesi corrispondente all’altra dell’angolo acuto di Saccheri o di Lambert: per un punto esterno a una retta si possono condurre almeno due parallele alla retta data. La scoperta della geometria non euclidea corrispondente all’altra ipotesi Saccheriana, quella dell’angolo ottuso, che comporta la non esistenza di rette parallele, avverrà solo nella seconda metà dell’Ottocento grazie a Bernhard Riemann.

Sebbene la fiducia nella geometria euclidea, come idealizzazione corretta dello spazio fisico, sia rimasta inalterata dal 300 a.C. fino al 1800 circa, una preoccupazione tenne occupati i matematici durante quasi tutto il periodo. Gli assiomi adottati da Euclide erano considerati verità evidenti sullo spazio fisico. Tuttavia, l’assioma delle parallele, nella forma enunciata da Euclide, era considerato diverso dagli altri. Nessuno ne metteva realmente in dubbio la verità, ma tuttavia ad esso mancava l'irresistibile evidenza degli altri assiomi. Un assioma è appunto una proposizione che, senza essere dimostrata, si assume, o si richiede all’interlocutore di assumere, come fondamento di una dimostrazione o di una teoria.